Dlaczego nie można bezmyślnie mnożyć nierówności przez x?

Dlaczego nie można bezmyślnie mnożyć nierówności przez x?

Przy równaniu często mnożymy obie strony przez wyrażenie zawierające x.

Przy nierówności trzeba być ostrożniejszym.

Dlaczego?

Bo nie wiemy jeszcze, czy:

czy:

A od znaku mnożnika zależy kierunek nierówności.

---

Dwa scenariusze

Załóżmy, że mamy nierówność:

i chcemy pomnożyć ją przez x.

Jeśli:

to:

Jeśli:

to:

Kierunek jest inny.

Uczeń przesuwa x na osi:

• dodatnia strona,
• zero,
• ujemna strona.

Komponent pokazuje, jak zmienia się skutek mnożenia.

---

Dlatego nie robimy tego „na ślepo”

Jeśli w zadaniu pojawia się potrzeba pomnożenia przez wyrażenie o nieznanym znaku, mamy kilka możliwości:

• ustalić jego znak,
• rozbić rozwiązanie na przypadki,
• przekształcić zadanie inaczej.

Źródłowy kurs wspomina też użycie:

bo:

W wersji produkcyjnej doprecyzowujemy:

gdy mnożymy nierówność przez x^2, musimy osobno uważać na przypadek x=0, bo wtedy mnożnik nie jest dodatni, tylko równy zero i operacja może nie być równoważna.

---

Przykład myślowy

Weź:

Dla:

mamy:

Dla:

mamy:

Ta sama nierówność, ten sam symbol x, ale dwa różne kierunki po przemnożeniu.

To dokładnie powód, dla którego znak mnożnika musi być znany.

CORE

Po tej lekcji:

• nie mnożysz nierówności bez kontroli przez wyrażenie o nieznanym znaku,
• rozumiesz rozbicie na przypadek dodatni i ujemny,
• wiesz, dlaczego x^2 wymaga osobnego potraktowania x=0,
• umiesz szukać równoważnego przekształcenia bez ryzykownego mnożenia.

Dalej

Teraz przechodzimy do symbolu, który wygląda nowo:

Zamiast uczyć się reguły z pamięci, narysujemy oś liczbową.