Wartość bezwzględna jako odległość

Wartość bezwzględna jako odległość

Zamiast zaczynać od formalnej definicji, zadajmy prostsze pytanie:

Jak daleko od zera leży liczba 5?

Odpowiedź:

A liczba:

Też leży 5 jednostek od zera.

Odległość nie ma znaku „w lewo” lub „w prawo”.

Jest po prostu długością.

Dlatego:

oraz:

Uczeń przesuwa punkt po osi.

Na żywo widzi:

• położenie x,
• odcinek od 0 do x,
• długość:

---

Co zauważasz?

Dla:

odległość od zera jest równa po prostu:

Dla:

liczba x jest ujemna, ale odległość ma być dodatnia.

Dlatego bierzemy:

---

Definicja

Dopiero teraz zapisujemy formalnie:

---

Moduł jako odległość od innego punktu

To bardzo ważne rozszerzenie.

Wyrażenie:

oznacza odległość liczby x od punktu:

Dlaczego?

Na osi odległość między x i 3 możemy zapisać jako wartość bezwzględną ich różnicy:

Przykład:

dla:

mamy:

Dla:

mamy:

Oba punkty są dokładnie 4 jednostki od 3.

---

Nie ma ujemnych odległości

To zdanie z kursu jest tutaj kluczowe.

Nie istnieje liczba rzeczywista spełniająca:

Bo lewa strona jest odległością.

A:

nie ma ujemnych odległości.

CORE

Po tej lekcji:

• interpretujesz |x| jako odległość od zera,
• rozumiesz formalną definicję przedziałową,
• interpretujesz |x-a| jako odległość od a,
• wiesz, że wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna.

Dalej

Skoro moduł jest odległością, równanie:

możemy rozwiązać praktycznie bez algebraicznego „triku”.