Potęgi ułamkowe — droga do pierwiastków

Potęgi ułamkowe — droga do pierwiastków

Spróbujmy nadać sens zapisowi:

Nie mamy już prostego sposobu typu:

„napisz cztery kopie czegoś”.

Ale możemy użyć prawa:

Zobacz:

Czyli liczba:

musi spełniać:

Jaka dodatnia liczba to spełnia?

Dlatego:

Uczeń wybiera podstawę i mianownik wykładnika.

Dla:

komponent pokazuje n identycznych kopii:

Następnie pyta:

Jaka liczba x podniesiona do n daje a?

---

Drugi przykład

Czyli:

W kontekście pierwiastka głównego wybieramy wartość nieujemną:

---

Trzeci przykład

Szukamy więc:

Stąd:

Czyli:

---

Co się powtarza?

Dla:

zadajemy pytanie:

Jaka liczba po wymnożeniu przez siebie n razy daje a?

To jest dokładnie pytanie, które zadaje pierwiastek n-tego stopnia.

Dlatego dla zakresu liczb rzeczywistych, gdy zapis ma sens:

---

Ważne doprecyzowanie

W źródłowym kursie intuicja jest budowana na dodatnich przykładach 4, 9, 8, 81.

W finalnej wersji pozostajemy w tym bezpiecznym obszarze przy pierwszym wprowadzeniu.

Dla ujemnych podstaw i ogólnych wykładników wymiernych pojawiają się dodatkowe warunki. Nie potrzebujemy ich do zrozumienia idei na tym etapie.

---

Spróbuj sam

1.

2.

3.

4.

CORE

Po tej lekcji:

• rozumiesz, skąd bierze się a^{1/n},
• potrafisz zamienić prostą potęgę ułamkową na pierwiastek,
• widzisz, że pierwiastek nie jest całkowicie nowym, niezależnym działaniem,
• potrafisz rozwiązać proste pytanie x^n=a.

Dalej

Teraz nazwijmy to pytanie formalnie i zobaczmy, jakie prawa działań dostają pierwiastki.