Wzory skróconego mnożenia — skąd się biorą?

Wzory skróconego mnożenia — skąd się biorą?

W pewnym momencie samo wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias przestaje wystarczać.

Wtedy przydają się trzy bardzo charakterystyczne wzorce:

Nie chcemy jednak zaczynać od ich wkuwania.

Źródłowy kurs robi coś lepszego:

udowadnia pierwszy wzór na dwa sposoby.

---

Dowód 1 — algebraiczny

Z definicji potęgowania:

Wymnażamy:

Mnożenie jest przemienne:

Dlatego:

Czyli:

Uczeń sam rozwija nawiasy i przeciąga dwa składniki mk obok siebie.

Dopiero wtedy komponent składa je do:

---

Dowód 2 — geometryczny

Teraz potraktujmy:

jako pole kwadratu o boku m+k.

Pole całego kwadratu:

Ale ten sam kwadrat można podzielić na cztery części:

• kwadrat:

• kwadrat:

• prostokąt:

• drugi prostokąt:

Suma pól:

Czyli:

To cały czas ten sam kwadrat, więc:

Uczeń zmienia jednym suwakiem, jaką częścią stałego boku całego kwadratu jest m. Pozostała część to k. Fragmenty po prawej mają dokładnie tę samą skalę i kolory co odpowiadające im obszary w kwadracie po lewej. Następnie uczeń sam uzupełnia wzory na pola fragmentów i odkrywa:

Wizualizacja używa funkcjonalnej palety NOEMAT: granat dla m^2, rdzawy dla obu prostokątów mk, taupe dla k^2.

---

Pozostałe wzory

W kursie pojawia się ważna uwaga:

Pozostałe wzory można udowodnić podobnie, ale algebraicznie będzie znacznie wygodniej.

Na przykład:

Oraz:

---

CORE

Po tej lekcji:

• znasz trzy wzory,
• potrafisz wyprowadzić pierwszy algebraicznie,
• rozumiesz geometryczny sens (m+k)^2,
• nie traktujesz 2mk jako magicznego składnika,
• potrafisz sprawdzić wzór przez zwykłe wymnożenie.

Dalej

Teraz będziemy robić dwie przeciwne operacje:

rozwijać wzór i zwijać wyrażenie do wzoru.