Po co matematyce funkcje? Jeden wzór zamiast 100 rachunków

Po co matematyce funkcje?

Do tej pory sporo liczyliśmy: upraszczaliśmy wyrażenia, rozwiązywaliśmy równania, pracowaliśmy z nierównościami.

Tylko że same rachunki nie są celem matematyki. Są narzędziem, którym możemy opisywać różne sytuacje.

Zacznijmy więc od czegoś bardzo zwykłego.

Samochód ma 26 litrów paliwa

Samochód spala 7 litrów na każde 100 km.

Ile kilometrów przejedziemy, jeżeli spalimy:

• 0,5 l,
• 1 l,
• 7 l,
• 26 l,
• 5 l,
• 0,25 l,
• 21,37 l,
• 4,20 l?

A co, jeśli takich pytań będzie jeszcze 100?

Możemy oczywiście liczyć każdy podpunkt osobno.

Tylko… może da się zrobić coś wygodniejszego?

SPRÓBUJ NAJPIERW
Zanim czytasz dalej: jak policzyłbyś drogę dla 0,5 l?

---

Pierwszy sposób: proporcja

Skoro:

to:

Stąd:

Czyli około:

---

Drugi sposób: „chłopski rozum”

Policzmy najpierw, ile kilometrów samochód przejedzie na jednym litrze:

Skoro chcemy spalić tylko 0,5 l, bierzemy połowę:

Ten sam wynik.

---

Zauważ

W obu sposobach ostatecznie robimy dokładnie to samo:

liczbę litrów mnożymy przez

W przykładzie z połową litra szczególnie dobrze to widać:

Czyli dla 5 l:

dla 21{,}37 l:

a dla dowolnej liczby litrów x:

Zamiast robić 100 prawie identycznych rachunków, możemy zapisać jeden przepis:

gdzie:

• x — liczba spalonych litrów,
• y — liczba przejechanych kilometrów.

I teraz każdy podpunkt sprowadza się tylko do podstawienia liczby za x.

---

To jest cały pomysł

Jeżeli znamy x, wzór mówi nam, jakie y do niego pasuje.

Na przykład dla x=7:

Dla x=14:

Dla x=3{,}5:

Mamy więc coś w rodzaju maszyny:

Właśnie do takiego pomysłu służą funkcje.

Nie podajemy jeszcze definicji. Najpierw chcemy, żeby było jasne, po co w ogóle ją wymyślono.

---

Interaktywnie

UWAGA IMPLEMENTACYJNA — NIE POKAZYWAĆ TEGO UX ZA WCZEŚNIE.
Poniższa interakcja ma pojawić się dopiero po pełnym przejściu problemu z paliwem, obu sposobów policzenia pierwszego przypadku i odkryciu mnożnika 100/7. Sam komponent nie zastępuje tego wyjaśnienia.

Uczeń zmienia liczbę litrów x.

Komponent jednocześnie pokazuje:

1. rachunek

2. wynik w kilometrach,
3. punkt (x,y) na wykresie.

Wartości startowe do szybkich przycisków: 0,5, 1, 3,5, 7, 14, 21.

---

Spróbuj sam

Korzystając tylko ze wzoru

oblicz drogę dla:

1. x=1,
2. x=3,5,
3. x=14,
4. x=21.

Odpowiedzi

1. ,
2. ,
3. ,
4. .

---

Co masz stąd wynieść?

MUSISZ UMIEĆ:

• zauważyć, że wiele podobnych obliczeń można opisać jednym wzorem,
• rozpoznać, która wielkość jest x, a która y,
• obliczyć y po podstawieniu konkretnego x.

NA RAZIE NIE MUSISZ:

• znać formalnej definicji funkcji,
• znać wszystkich rodzajów funkcji,
• wiedzieć, jak wygląda ich wykres.

To zrobimy za chwilę.

Dalej

Mamy już sytuację, w której każdemu x przypisujemy jedno y.

Teraz możemy wreszcie odpowiedzieć:

co dokładnie matematycy nazywają funkcją?