Logarytm — jak zapytać o wykładnik?

Logarytm — jak zapytać o wykładnik?

Spójrzmy na równanie:

Do tej pory zadawaliśmy dwa rodzaje pytań.

Potęga

Znamy:

i pytamy o:

Na przykład:

Pierwiastek

Znamy:

i pytamy o podstawę:

Na przykład:

i w kontekście pierwiastka głównego:

Zostało trzecie pytanie.

Znam a i b. Jaki musi być wykładnik c?

To właśnie pytanie logarytmu.

Na środku:

Uczeń klika niewiadomą:

• b → POTĘGA,
• a → PIERWIASTEK,
• c → LOGARYTM.

---

Definicja logarytmu

Dla poprawnej podstawy logarytmu:

oraz dodatniego argumentu:

mamy:

Czyli:

odpowiada na pytanie:

Do jakiej potęgi trzeba podnieść a, aby dostać b?

---

Przykład 1

Nazwijmy wynik x:

Z definicji:

Zapisujemy obie strony jako potęgi 2:

Te same podstawy, więc:

Czyli:

Zatem:

---

Przykład 2

Z definicji:

Ponieważ:

mamy:

---

Przykład 3 — łączymy z pierwiastkami

Weźmy:

Zapisujemy wszystko jako potęgi 5:

Szukamy x:

Czyli:

Stąd:

więc:

---

Logarytm w równaniu

Jeżeli:

to z definicji:

Czyli:

---

Gdy niewiadoma jest w podstawie

Jeżeli:

to:

Równanie ma dwa algebraiczne kandydaty:

Ale podstawa logarytmu musi spełniać:

Dlatego zostaje:

To dobry przykład, dlaczego warunki definicji są ważne.

Komponent nie pokazuje od razu rozwiązania. Najpierw każe uczniowi zamienić logarytm na równoważne równanie potęgowe.

---

CORE

Po tej lekcji:

• rozumiesz logarytm jako pytanie o wykładnik,
• zamieniasz:

na:

• pamiętasz podstawowe warunki:

• rozwiązujesz proste logarytmy przez sprowadzenie do potęg.

Dalej

Tak jak potęgi miały swoje prawa działań, logarytmy też mają kilka bardzo użytecznych reguł.