Skąd bierze się potęgowanie?

Skąd bierze się potęgowanie?

Zanim zaczniemy pracować z potęgami, pierwiastkami i logarytmami, cofniemy się na chwilę do bardzo prostego pytania.

Na grzybobraniu są 4 kosze, a w każdym z nich po 3 grzyby.

Ile grzybów jest razem?

Dziecko, które zna tylko dodawanie, może zrobić:

Kiedy znamy już mnożenie, zapisujemy to krócej:

Co właściwie zrobiło mnożenie?

Nie stworzyło nowego wyniku.

Tylko skróciło wielokrotne dodawanie tej samej liczby.

Możemy więc zapisać ideę:

ZAUWAŻ: Mnożenie możemy traktować jako wielokrotność dodawania.

I dokładnie tym samym pomysłem zbudujemy nowe działanie.

Potęgowanie

Jeżeli wielokrotnie mnożymy tę samą liczbę:

możemy zapisać to krócej:

Czyli dla naturalnego wykładnika:

Na przykład:

Albo:

Komponent ma pokazać trzy poziomy:

1. 3+3+3+3
3. → 2^4

Uczeń klika kolejne poziomy i obserwuje, że nowe działanie kompresuje powtarzanie poprzedniego.

Znak i nawias

Przy potęgach bardzo szybko pojawia się ważna różnica:

ale:

Możemy zapamiętać mnemotechnikę z kursu:

„Parzysta potęga zjada minus, a nieparzysta nie.”

Ale tylko wtedy, gdy minus rzeczywiście znajduje się w podstawie potęgi, czyli jest objęty nawiasem.

Porównaj:

oraz:

Nawias ma znaczenie.

Pierwsze ograniczenie

Nasza definicja:

bardzo dobrze działa dla naturalnego m.

Ale co ma znaczyć:

Albo:

Albo:

Na razie nie będziemy zgadywać.

Najpierw zobaczymy, jakie własności potęg wynikają z naszej pierwszej definicji.

Dopiero potem spróbujemy użyć ich do rozszerzenia znaczenia potęgi.

CORE

Po tej lekcji:

• rozumiesz mnożenie jako skrócone wielokrotne dodawanie,
• rozumiesz potęgowanie jako skrócone wielokrotne mnożenie,
• potrafisz rozwinąć prostą potęgę do iloczynu,
• zwracasz uwagę na nawias przy liczbach ujemnych,
• widzisz, dlaczego pierwsza definicja nie mówi jeszcze nic o wykładnikach zerowych, ujemnych i ułamkowych.

Dalej

Teraz zobaczymy, czy z samego mnożenia powtarzających się czynników da się odkryć prawa działań na potęgach.