Pierwiastki jako potęgi — działania i upraszczanie

Pierwiastki jako potęgi

W poprzedniej lekcji zobaczyliśmy, że:

zadaje pytanie:

jaka liczba podniesiona do n daje a?

To samo pytanie zapisujemy symbolem pierwiastka:

Dlatego:

w zakresie, w którym pracujemy w liczbach rzeczywistych i oba zapisy mają sens.

Uczeń może przełączać:

i obserwować, że oba zapisy prowadzą do tego samego równania:

---

Prawa działań na pierwiastkach

Skoro pierwiastek możemy zapisać jako potęgę, prawa potęg dają nam wygodne prawa pierwiastków.

Pierwiastek z iloczynu

tam, gdzie wyrażenia są określone.

Pierwiastek z ilorazu

przy odpowiednich warunkach i .

Pierwiastek z pierwiastka

---

Upraszczanie pierwiastków

Weźmy:

Rozbijamy:

Czyli:

Nie każdy pierwiastek znika całkowicie.

√3 nie jest „zepsutym wynikiem”. To poprawna liczba niewymierna.

---

Dodawanie podobnych pierwiastków

W kursie pojawia się dobra analogia:

Upraszczamy:

I teraz dokładnie tak jak:

4 jabłka + 6 jabłek – 5 jabłek = 5 jabłek,

mamy:

---

A co z liczbami ujemnymi?

Pierwiastek nieparzystego stopnia

bo:

Pierwiastek parzystego stopnia

W liczbach rzeczywistych:

nie istnieje.

Dlaczego?

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Uczeń wybiera:

• stopień 2, 3, 4, 5,
• dodatnią lub ujemną liczbę pod pierwiastkiem.

Komponent pokazuje, kiedy pierwiastek rzeczywisty istnieje.

---

Ważna korekta matematyczna

W źródłowych notatkach pojawia się skrót:

W wersji produkcyjnej doprecyzowujemy:

dla parzystego n:

Na przykład:

a nie -3.

Dla nieparzystego n:

To nie zmienia intuicji kursu, ale jest potrzebne do poprawnej publikacji.

---

Spróbuj sam

Uprość:

1.

2.

3.

4.

5.

Czy w liczbach rzeczywistych istnieje:

CORE

Po tej lekcji:

• zamieniasz pierwiastek na potęgę 1/n,
• znasz podstawowe prawa działań na pierwiastkach,
• wyłączasz pełne potęgi spod pierwiastka,
• dodajesz podobne pierwiastki,
• rozróżniasz zachowanie pierwiastków parzystego i nieparzystego stopnia,
• pamiętasz o wartości bezwzględnej w dla parzystego n.

Dalej

Został bardzo praktyczny problem:

Co zrobić, gdy pierwiastek pojawia się w mianowniku?